【導(dǎo)讀】通常對(duì)某個(gè)頻點(diǎn)上的阻抗匹配可利用SMITH圓圖工具進(jìn)行，兩個(gè)器件肯定能搞定，即通過(guò)串+并聯(lián)電感或電容即可實(shí)現(xiàn)由圓圖上任一點(diǎn)到另一點(diǎn)的阻抗匹配，但這是單頻的。而手機(jī)天線是雙頻的，對(duì)其中一個(gè)頻點(diǎn)匹配，必然會(huì)對(duì)另一個(gè)頻點(diǎn)造成影響，因此阻抗匹配只能是在兩個(gè)頻段上折衷。
在某一個(gè)頻點(diǎn)匹配很容易，但是雙頻以上就復(fù)雜點(diǎn)了。因?yàn)樵?00M完全匹配了，那么1800處就不會(huì)達(dá)到匹配，要算一個(gè)適合的匹配電路。最好用仿真軟件或一個(gè)點(diǎn)匹配好了，在網(wǎng)絡(luò)分析儀上 的S11參數(shù)下調(diào)整，因?yàn)殡p頻的匹配點(diǎn)肯定離此處不會(huì)太遠(yuǎn)，只有兩個(gè)元件匹配是唯一的，但是pi 型網(wǎng)絡(luò)匹配，就有無(wú)數(shù)個(gè)解了。這時(shí)候需要仿真來(lái)挑，最好有使用經(jīng)驗(yàn)。
仿真工具在實(shí)際過(guò)程中幾乎沒(méi)什么用處。因?yàn)榉抡婀ぞ呤遣恢滥阍哪Ｐ偷摹Ｄ惚仨氁斎雽?shí)際元件的模型，也就是說(shuō)各種分布參數(shù)，你的結(jié)果才可能與實(shí)際相符。一個(gè)實(shí)際電感器并不是簡(jiǎn)單用電感量能衡量的，應(yīng)該是一個(gè)等效網(wǎng)絡(luò)來(lái)模擬。本人通常只會(huì)用仿真工具做一些理論的研究。
實(shí)際設(shè)計(jì)中，要充分明白Smith圓圖的原理，然后用網(wǎng)絡(luò)分析儀的圓圖工具多調(diào)試。懂原理讓你定性地知道要用什么件，多調(diào)是要讓你熟悉你所用的元件會(huì)在實(shí)際的圓圖上怎么移動(dòng)。（由于分布參數(shù)及元件的頻率響應(yīng)特性的不同，實(shí)際件在圓圖上的移動(dòng)和你理論計(jì)算的移動(dòng)會(huì)不同的）。
雙頻的匹配的確是一個(gè)折衷的過(guò)程。你加一個(gè)件一定是有目的性的。以GSM、DCS雙頻來(lái)說(shuō)，你如果想調(diào)GSM而又不太想改變DCS，你就應(yīng)該選擇串連電容、并聯(lián)電感的方式。同樣如果想調(diào)DCS，你應(yīng)該選擇串電感、并電容。
理論上需要2各件調(diào)一個(gè)頻點(diǎn)，所以實(shí)際的手機(jī)或者移動(dòng)終端通常按如下規(guī)律安排匹配電路：對(duì)于簡(jiǎn)單一些的，天線空間比較大，反射本來(lái)就較小的，采用Pai型（2并一串），如常規(guī)直板手機(jī)、常規(guī)翻蓋機(jī)；稍微復(fù)雜些的采用雙L型（2串2并）：對(duì)于更復(fù)雜的，采用L＋Pai型（2串3并），比如用拉桿天線的手機(jī)。
記住，匹配電路雖然能降低反射，但同時(shí)會(huì)引入損耗。有些情況，雖然駐波比好了，但天線系統(tǒng)的效率反而會(huì)降低。所以匹配電路的設(shè)計(jì)是有些忌諱的；比如在GSM、DCS手機(jī)中匹配電路中，串聯(lián)電感一般不大于5.6nH。還有，當(dāng)天線的反射本身比較大，帶寬不夠，在smith圖上看到各頻帶邊界點(diǎn)離圓心的半徑很大，一般加匹配是不能改善輻射的。
天線的反射指標(biāo)（VSWR，return loss）在設(shè)計(jì)過(guò)程中一般只要作為參考。關(guān)鍵參數(shù)是傳輸性參數(shù)（如效率，增益等）。有人一味強(qiáng)調(diào)return loss，一張口要－10dB，駐波比要小于1.5，其實(shí)沒(méi)有意義。我碰到這種人，我就開(kāi)玩笑說(shuō)，你只要反射指標(biāo)好，我給你接一個(gè)50歐姆的匹配電阻好了，那樣駐波小于1.1啊，至于你手機(jī)能不能工作我就不管了！
SWR駐波比僅僅說(shuō)明端口的匹配程度，即阻抗匹配程度。匹配好，SWR小，天線輸入端口處反射回去的功率小。匹配不好，反射回去的功率就大。至于進(jìn)入天線的那部分功率是不是輻射了，你根本不清楚。天線的效率是輻射到空間的總功率與輸入端口處的總功率之比。所以SWR好了，無(wú)法判斷天線效率一定就高（拿一個(gè)50ohm的匹配電阻接上，SWR很好的，但有輻射嗎？）。但是SWR不好了，反射的功率大，可以肯定天線的效率一定不會(huì)高。SWR好是天線效率好的必要條件而非充分條件。SWR好并且輻射效率（radiation efficiency）高是天線效率高的充分必要條件。當(dāng)SWR為理想值（1）時(shí)，端口理想匹配，此時(shí)天線效率就等于輻射效率。
當(dāng)今的手機(jī)，天線的空間壓縮得越來(lái)越小，是犧牲天線的性能作為代價(jià)的。對(duì)于某些多頻天線，甚至VSWR達(dá)到了6。以前大家比較多采用外置天線，平均效率在50％算低的，現(xiàn)在50％以上的效率就算很好了！看一看市場(chǎng)上的手機(jī)，即使是名公司的，如Nokia等，也有效率低于20％的。有的手機(jī)(滑蓋的啊，旋轉(zhuǎn)的啊)甚至在某些頻點(diǎn)的效率只有10％左右。
見(jiàn)過(guò)幾個(gè)手機(jī)內(nèi)置天線的測(cè)試報(bào)告，天線效率基本都在30-40%左右，當(dāng)時(shí)覺(jué)得實(shí)在是夠差的（比我設(shè)計(jì)的微帶天線而言），現(xiàn)在看來(lái)還是湊合的了。不過(guò)實(shí)際工程中，好像都把由于S11造成的損耗和匹配電路的損耗計(jì)在效率當(dāng)中了，按天線原理，只有介質(zhì)損耗（包括基板引起的和手機(jī)內(nèi)磁鐵引起的）和金屬損耗（盡管很小）是在天線損耗中的，而回?fù)p和匹配電路的損耗不應(yīng)該記入的。不過(guò)工程就是工程啊，這樣容易測(cè)試啊。
對(duì)了，再補(bǔ)充一句，軟件仿真在一定程度上是對(duì)工程有幫助的。當(dāng)然，仿真的結(jié)果準(zhǔn)確程度沒(méi)法跟測(cè)試相比，但是通過(guò)參數(shù)掃描仿真獲取的天線性能隨參數(shù)變化趨勢(shì)還是有用的，這比通過(guò)測(cè)試獲取數(shù)據(jù)要快不少，尤其是對(duì)某些不常用的參數(shù)。
“仿真工具在實(shí)際工程中沒(méi)有什么用處”，是說(shuō)在設(shè)計(jì)匹配電路時(shí)，更具體一點(diǎn)是指設(shè)計(jì)雙頻GSM、DCS手機(jī)天線匹配電路時(shí)。如果單獨(dú)理解這句話，無(wú)疑是錯(cuò)的。事實(shí)上，我一直在用HFSS進(jìn)行天線仿真，其結(jié)果也都是基于仿真結(jié)果的。
對(duì)了，焊元器件真的是一件費(fèi)勁的事，而且也有方法的，所謂熟能生巧嘛。大的公司可能給你專門配焊接員，那樣你可能就只要說(shuō)焊什么就可以了。然而，我們?cè)诖擞懻摰氖侨绾斡行У赝瓿善ヅ潆娐返脑O(shè)計(jì)。注意有效性！有效性包括所耗的時(shí)間以及選擇元器件的準(zhǔn)確性。如果沒(méi)有實(shí)際動(dòng)手的經(jīng)驗(yàn)，只通過(guò)軟件仿真得出一種匹配設(shè)計(jì)然而用到實(shí)際天線輸入端，呵呵，我可以說(shuō)，十有八九你的設(shè)計(jì)會(huì)不能用，甚至和你的想象大相徑庭！
實(shí)際設(shè)計(jì)中，還有一種情況你在仿真中是無(wú)法考慮的（除非你事先測(cè)量）。那就是，分布參數(shù)對(duì)于PIFA的影響。由于如今天線高度越來(lái)越小，而匹配電路要么在天線的下方（里面）要么在其上方（外面），反正很近，加入一個(gè)實(shí)際元件在實(shí)際中會(huì)引入分布參數(shù)的改變。尤其如果電路板排版不好，這種效應(yīng)會(huì)明顯一些。實(shí)際焊接時(shí)，甚至如果一個(gè)件焊得不太好，重新焊接一下，都會(huì)帶來(lái)阻抗的變化。
所以，PIFA的設(shè)計(jì)中，通常我們不采用匹配電路（或者叫0ohm匹配）。這就要求你仔細(xì)調(diào)節(jié)優(yōu)化你的天線。一般來(lái)說(shuō)對(duì)現(xiàn)今的柔性電路板設(shè)計(jì)方案（Flexfilm）比較容易做到，因?yàn)樾薷妮椛淦容^容易。對(duì)于用得比較多的另一種設(shè)計(jì)方案沖壓金屬片（stamping metal），相對(duì)來(lái)說(shuō)就比較難些了。一是硬度大，受工藝的限制不能充分理由所有空間，二是模具一旦成型要多次修改輻射片的設(shè)計(jì)也很困難。
在匹配設(shè)計(jì)上仿真工具有沒(méi)有很大的用處，沒(méi)多少人是可以用仿真工具算出匹配來(lái)的。再說(shuō)，有沒(méi)有很大效果怎么衡量呢？ 工程上講究的是快速，準(zhǔn)確。為了仿真而仿真，沒(méi)有實(shí)際意義。為了得到一個(gè)2、3、最多5個(gè)件的匹配你去建立電感、電容的模型，不太值的。還有，你如何考慮上面我提到的PIFA匹配的分布參數(shù)的改變？前面我還說(shuō)到一些匹配電路的忌諱，不是源于理論，完全源于實(shí)踐。因?yàn)樘炀€的設(shè)計(jì)是希望能提高它的輻射效率(總效率)！我沒(méi)有成功地在1小時(shí)內(nèi)通過(guò)仿真工具找到過(guò)準(zhǔn)確的匹配電路（就說(shuō)GSM、DCS）雙頻的吧，（實(shí)際中用視錯(cuò)法是可以的）。
在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。
在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測(cè)試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。
有很多種阻抗匹配的方法，包括
· 計(jì)算機(jī)仿真： 由于這類軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起來(lái)比較復(fù)雜。設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外，除非計(jì)算機(jī)是專門為這個(gè)用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上。
· 手工計(jì)算： 這是一種極其繁瑣的方法，因?yàn)樾枰玫捷^長(zhǎng)(“幾公里”)的計(jì)算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。
· 經(jīng)驗(yàn)： 只有在RF領(lǐng)域工作過(guò)多年的人才能使用這種方法。總之，它只適合于資深的專家。
· 史密斯圓圖：本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。
本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)
基礎(chǔ)知識(shí)
在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz) IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對(duì)RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。
大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：
RS + jXS = RL - jXL
圖2. 表達(dá)式RS + jXS = RL - jXL的等效圖
在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲蟆Ａ硗猓瑸橛行鬏敼β剩瑵M足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。
史密斯圓圖
史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。
史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號(hào)Γ表示)的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。
史密斯圓圖是通過(guò)驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)ΓL，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問(wèn)題時(shí)ΓL更加有用。
我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比：
圖3. 負(fù)載阻抗
負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：
由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。
為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0 (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：
據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為：
從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。
為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線)。
首先，由方程2.3求解出；
并且
令等式2.5的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式：
重新整理等式2.6，經(jīng)過(guò)等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個(gè)方程是在復(fù)平面(Γr，Γi)上、圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它以[r/(r + 1)，0]為圓心，半徑為1/(1 + r)。
更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4a。
圖4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗
例如，r = 1的圓，以(0.5，0)為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0，0) (負(fù)載與特性阻抗相匹配）。以(0，0)為圓心、半徑為1的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開(kāi)路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1，0為圓心，半徑為零)。與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來(lái)。
在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問(wèn)題。下面是最重要的幾個(gè)方面：
· 所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)(1，0)。
· 代表0Ω、也就是沒(méi)有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。
· 無(wú)限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1，0)
· 實(shí)際中沒(méi)有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。
· 選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻。
作圖
經(jīng)過(guò)等式2.15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程2.19。
同樣，2.19也是在復(fù)平面(Γr，Γi)上的圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它的圓心為(1，1/x)，半徑1/x。
更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4b。
圖4b. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗
例如，× = 1的圓以(1，1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1，0)。與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說(shuō)明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過(guò)橫軸上1點(diǎn)的垂直線上。
完成圓圖
為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起。可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)。
可互換性
上述過(guò)程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和×的值。過(guò)程如下：
· 確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
· 找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)(Γ)
· 已知特性阻抗和Γ，找出阻抗
· 將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納
· 找出等效的阻抗
· 找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7)
推論
因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：
例： 已知特性阻抗為50Ω，負(fù)載阻抗如下：
對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見(jiàn)圖5)：
圖5. 史密斯圓圖上的點(diǎn)
現(xiàn)在可以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)Γ。畫出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部Γr和虛部Γi (見(jiàn)圖6)。
該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)Γ：
圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)Γ的實(shí)部和虛部
用導(dǎo)納表示
史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)。可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。
我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者Ω-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門子或S)。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)。
所以Y = G + jB (2.20)，其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。
用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化，y = Y/Y0，得出y = g + jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過(guò)下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)：
結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有Γ(y) = -Γ(z)。
如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0，0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果(見(jiàn)圖7)。
圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果
當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是西門子。
盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用。
導(dǎo)納圓圖
在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過(guò)以Γ復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1，0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：
解這個(gè)方程：
接下來(lái)，令方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：
從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：
它也是復(fù)平面(Γr，Γi)上圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R² (方程3.12)，以[g/(g + 1)，0]為圓心，半徑為1/(1 + g)。
從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：
同樣得到(x - a)² + (y - b)² = R²型的參數(shù)方程(方程3.17)。
求解等效阻抗
當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)。
考慮圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Z0 = 50Ω進(jìn)行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納(b)對(duì)電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)。
圖8. 一個(gè)多元件電路
這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖9)。從最右邊開(kāi)始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r = 1的圓周和I＝1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A''''''''''''''''''''''''''''''''。現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針?lè)较?負(fù)值)移動(dòng)距離0.3，得到點(diǎn)B。然后又是一個(gè)串聯(lián)元件。現(xiàn)在我們?cè)倩氐阶杩箞A圖。
圖9. 將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開(kāi)進(jìn)行分析
在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B''''''''''''''''''''''''''''''''，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離1.4得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)。進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針?lè)较?因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離(1.1)。這個(gè)點(diǎn)記為D。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)。于是我們得到所需的值，z，位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出z = 0.2 + j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50Ω，有Z = 10 + j25Ω (見(jiàn)圖10)。
圖10. 在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件
逐步進(jìn)行阻抗匹配
史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過(guò)程。此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖11所示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。
圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路
初看起來(lái)好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問(wèn)題在于有無(wú)限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)。
實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來(lái)連接史密斯圓圖上的點(diǎn)。同樣，說(shuō)明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例。
我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負(fù)載阻抗(zL) (見(jiàn)圖11)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問(wèn)題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)。下面是解的過(guò)程：
圖12. 圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫在史密斯圓圖上
要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒(méi)有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值。假設(shè)Z0為50Ω。于是zS = 0.5 - j0.3，z*S = 0.5 + j0.3，ZL = 2 - j0.5。
下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A代表zL，D代表z*S
然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn)A''''''''''''''''''''''''''''''''。
確定連接電容C后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向。并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)、直到找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn)B (導(dǎo)納)。下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B''''''''''''''''''''''''''''''''。B''''''''''''''''''''''''''''''''必需和D位于同一個(gè)電阻圓上。從圖形上看，從A''''''''''''''''''''''''''''''''到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過(guò)中間的B點(diǎn)(也就是B'''''''''''''''''''''''''''''''')，就需要經(jīng)過(guò)多次的嘗試和檢驗(yàn)。在找到點(diǎn)B和B''''''''''''''''''''''''''''''''后，我們就能夠測(cè)量A''''''''''''''''''''''''''''''''到B和B''''''''''''''''''''''''''''''''到D的弧長(zhǎng)，前者就是C的歸一化電納值，后者為L(zhǎng)的歸一化電抗值。A''''''''''''''''''''''''''''''''到B的弧長(zhǎng)為b = 0.78，則B = 0.78 × Y0 = 0.0156S。因?yàn)?omega;C = B，所以C = B/ω = B/(2πf) = 0.0156/[2π(60 × 106)] = 41.4pF。
B到D的弧長(zhǎng)為× = 1.2，于是X = 1.2 × Z0 = 60Ω。由ωL = X，得L = X/ω = X/(2πf)= 60/[2π(60 × 106)] = 159nH。
圖13. MAX2472典型工作電路
第二個(gè)例子是MAX2472的輸出匹配電路，匹配于50Ω負(fù)載阻抗(zL)，工作品率為900MHz (圖14所示)。該網(wǎng)絡(luò)采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，包括一個(gè)并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過(guò)程。
圖14. 圖13所示網(wǎng)絡(luò)在史密斯圓a圖上的相應(yīng)工作點(diǎn)
首先將S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗。MAX2472的Z0為50Ω，S22 = 0.81/-29.4°轉(zhuǎn)換成zS= 1.4 - j3.2，zL = 1和zL* = 1。
下一步，在圓圖上定位兩個(gè)點(diǎn)，zS標(biāo)記為A，zL*標(biāo)記為D。因?yàn)榕c信號(hào)源連接的是第一個(gè)元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點(diǎn)A’。
確定連接電感LMATCH后下一個(gè)點(diǎn)所在的圓弧，由于不知道LMATCH的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置。但是，我們了解連接LMATCH并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于r = 1的圓周上。由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為z = 1 + j0。以原點(diǎn)為中心，在r = 1的圓上旋轉(zhuǎn)180°，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點(diǎn)結(jié)合A’點(diǎn)可以得到B (導(dǎo)納)。B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗為B’點(diǎn)。
找到B和B''''''''''''''''''''''''''''''''后，可以測(cè)量圓弧A''''''''''''''''''''''''''''''''B以及圓弧B''''''''''''''''''''''''''''''''D的長(zhǎng)度，第一個(gè)測(cè)量值可以得到LMATCH。電納的歸一化值，第二個(gè)測(cè)量值得到CMATCH電抗的歸一化值。圓弧A''''''''''''''''''''''''''''''''B的測(cè)量值為b = -0.575，B = -0.575 × Y0 = 0.0115S。因?yàn)?/ωL = B，則LMATCH = 1/Bω = 1/(B2πf) = 1/(0.01156 × 2 × π × 900 × 106) = 15.38nH，近似為15nH。圓弧B''''''''''''''''''''''''''''''''D的測(cè)量值為× = -2.81，X = -2.81 × Z0 = -140.5Ω。因?yàn)?1/ωC = X，則CMATCH = -1/Xω = -1/(X2πf) = -1/(-140.5 × 2 × π × 900 × 106) = 1.259pF，近似為1pF。這些計(jì)算值沒(méi)有考慮寄生電感和寄生電容，所得到的數(shù)值接近與數(shù)據(jù)資料中給出的數(shù)值：LMATCH = 12nH和CMATCH = 1pF。
總結(jié)
在擁有功能強(qiáng)大的軟件和高速、高性能計(jì)算機(jī)的今天，人們會(huì)懷疑在解決電路基本問(wèn)題的時(shí)候是否還需要這樣一種基礎(chǔ)和初級(jí)的方法。
實(shí)際上，一個(gè)真正的工程師不僅應(yīng)該擁有理論知識(shí)，更應(yīng)該具有利用各種資源解決問(wèn)題的能力。在程序中加入幾個(gè)數(shù)字然后得出結(jié)果的確是件容易的事情，當(dāng)問(wèn)題的解十分復(fù)雜、并且不唯一時(shí)，讓計(jì)算機(jī)作這樣的工作尤其方便。然而，如果能夠理解計(jì)算機(jī)的工作平臺(tái)所使用的基本理論和原理，知道它們的由來(lái)，這樣的工程師或設(shè)計(jì)者就能夠成為更加全面和值得信賴的專家，得到的結(jié)果也更加可靠。
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